<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          6 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 9 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 6 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerncia Editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
          Endereo Internet: 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
Sumrio

 Terceira Parte

 Unidade 5 

 ngulos ::::::::::::::::::: 259
 1 -- Algumas figuras 
  geomtricas planas ::::::: 260
 2 -- Giros ::::::::::::::: 264
 3 -- Mudanas de direo 
  e ngulos :::::::::::::::: 269
 ngulos e medidas ::::::::: 275
 4 -- Posies relativas 
  entre duas retas em um 
  plano :::::::::::::::::::: 279
 Mapas e localizao ::::::: 283
 Desenhando com rgua e 
  esquadro ::::::::::::::::: 288
 5 -- Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 290
 Contagem e 
  possibilidades ::::::::::: 290
 Leitura + (mais) :::::::: 296
 Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 297

 Unidade 6

 Divisibilidade :::::::::::: 302
 1 -- Sequncias numricas 
  e regularidades :::::::::: 305
 2 -- Divisibilidade :::::: 312
 3 -- Critrios de 
  divisibilidade ::::::::::: 318
 Divisibilidade por 2 ::::: 318
 Divisibilidade por 3 ::::: 320
 Divisibilidade por 9 ::::: 322
 Divisor de um nmero 
  natural :::::::::::::::::: 323
 Divisibilidade por 5 ::::: 327
 Divisibilidade por 10 :::: 329
 Divisibilidade por 4 ::::: 337
 Divisibilidade por 6 ::::: 338
 4 -- Nmeros primos :::::: 347
 5 -- Decomposio em 
  fatores primos ::::::::::: 355
 Outra forma de fatorar 
  completamente um 
  nmero ::::::::::::::::::: 360
 Fatores, mltiplos e 
  divisores de um nmero ::: 362
 A decomposio de um 
  nmero em fatores primos 
  e a raiz quadrada :::::::: 365
                             III
 Divisores comuns e o mximo 
  divisor comum :::::::::::: 368
 6 -- Mltiplos comuns e o 
  mnimo mltiplo comum :::: 372
 Decomposio simultnea em 
  fatores primos e o 
  m.m.c. ::::::::::::::::::: 376
 Leitura + (mais) :::::::: 382
 Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 384

<94>
<P>
<ti. d. mat. 6 ano>
<T+259>
 Unidade 5  

 ngulos
 
<R+>
_`[{trs fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Observando o movimento dos veculos em uma rodovia, vemos muitas imagens que sugerem giros, mudanas de direo e ngulos. 
<95>
 Legenda 2: No salto ornamental, a posio do tronco da competidora em relao s pernas pode ser representada por um ngulo. 
 Legenda 3: Nesta apresentao de ginstica rtmica, a posio das pernas da ginasta sugere um ngulo maior que o ngulo reto. 
<R->

  Os ngulos so utilizados em muitas aes de nosso dia a dia e tambm em vrias profisses exercidas pelo ser humano.
  Nesta unidade,vamos conhecer mais sobre os ngulos analisando giros, percursos e mudanas de direo. Estudaremos, tambm, ngulos como figuras geomtricas planas.
<R+>
  Identifique ngulos presentes em sua sala de aula. 
  Descreva situaes nas quais as imagens lembrem ngulos retos.  

<96>
 1 -- Algumas figuras geomtricas planas 
<R->

  As figuras geomtricas planas mais simples podem ser imaginadas a partir de observaes de nosso dia a dia. Veja, por exemplo, um gramado de futebol _`[no adaptado_`].
 
<R+>
 wr
  Nele, o que nos d a ideia de plano? 
  O que nos d a ideia de ponto? 
<R->

  Observe, agora, a reta *r* a seguir e dois de seus pontos: P e M. A parte destacada em verde, incluin-
<P>
 do o ponto P,  a semirreta {pM. Ela tem origem em P. 
  Indica-se: :,?{p{m*  

<F->
      P           M
r ::::o:::::::::::o:::: 
      r:::::::::::::w
          verde
<F+>

<R+>
 wr
  Identifique outra semirreta nessa figura. 
  Que figura geomtrica representa a parte da reta que fica entre os pontos P e M, incluindo esses pontos?  
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 1 e 2, pea orientao ao professor_`]

 1. Observe este poliedro _`[no adaptado_`].
 a) Que nome ele tem?
 b) Identifique trs dos pontos que foram destacados na figura. O que eles representam?
 c) Destaque dois segmentos de reta nessa figura. 

 2. Desenhe quatro pontos como estes a seguir. Em seguida, trace todas as retas que passam por eles. A reta que passa pelos pontos M e R pode ser indicada por ~:,?{m{r* ou ~:,?{r{m*. Nomeie as retas que voc desenhou.
 3. Observe a figura e responda s questes.

<P>
<F->
                 
             g E
            
    T g    g D
          
         ?*
         o C
         *?
          
    B g    
            
             g R
              
A g             
                g M
                 
<F+>

 a) Os pontos A e B pertencem  reta ~:,?{t{m*?  
 b) Quais dos pontos pertencem  ~:,?{r{m*?  
 c) Identifique e nomeie trs semirretas nessa figura. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<97>
<P> 
 2 -- Giros 

  Nos quartis os soldados costumam praticar exerccios de ordem unida. Eles recebem ordens, como: "Meia-volta, volver"; " direita, volver" e " esquerda, marchem". Ao cumpri-las, os soldados executam movimentos que envolvem giros, mudanas de direo e ngulos. 
  Nas situaes a seguir os movimentos de Marcos so parecidos com esses. 
  Marcos est de frente para a porta, olhando em direo a ela.
  Ele d um giro de meia-volta. 
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada_`]
<F->
             lousa
       !::============::
       l                _
       l                _
                       #
janela     Marcos :>    porta
                       
       l                _
       l                _
       h::::::::::::::::j
<F+>

 wr
  Ao trmino desse giro, para onde ele estar olhando?  
<R->

  Marcos comea mais uma vez de frente para a porta, olhando em direo a ela. Faz um giro da direita para a esquerda e fica de frente para a lousa. Marcos est olhando agora em direo  lousa. 
  Como chamamos o giro que ele 
  realizou?  
  Os giros esto associados a mudana de direo, e muitos deles 
<P>
 podem ser representados por meio de ngulos. 

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]

 Um giro de meia-volta corresponde a um ngulo raso. 
 Um giro de um quarto de volta corresponde a um ngulo reto. 
<R->

<98>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 4 a 6, pea orientao ao professor_`]

 4. Alice  enfermeira e trabalha em um hospital. Este caminho representa um esquema _`[no adaptado_`] do percurso que ela faz de sua casa, indicada pelo ponto A, ao hospital, indicado pelo ponto H. 
 a) Identifique os pontos em que ela muda de direo. 
<P>
 b) Identifique os pontos em que a mudana de direo  de um quarto de volta. 
 c) Identifique os pontos em que a mudana de direo  maior que um quarto de volta.  
 d) Cite os pontos em que a mudana de direo  maior que um quarto de volta.  

 5. Caminhos, direes e localizaes. 
<R->
  No Jogo das Direes, todos os jogadores saem da casa I de um tabuleiro _`[no adaptado_`] de 13 por 13 quadradinhos. 
  As diversas jogadas sero representadas por um nmero, seguido de uma letra. Por exemplo: 
  3C significa andar 3 quadrados para cima. 
  6D significa andar 6 quadrados para a direita. 
  3B significa andar 3 quadrados para baixo. 
  4E significa andar 4 quadrados para a esquerda. 
  Desenhe, em uma folha de papel quadriculado, um tabuleiro de 13 por 13 quadradinhos. Em seguida, trace o percurso do jogador que realizou, a partir de I, as seguintes jogadas: 2D, 3C, 1E e 5B, nessa ordem. 

<R+>
 6. Observe a figura a seguir 
  _`[no adaptada_`]. 
 a) Como voc representaria as jogadas do percurso desenhado nessa figura?  
 b) Invente algumas jogadas que o levem  casa F, partindo da casa I. 
 c) Imagine que voc esteja na casa A (veja a figura). Determine uma sequncia de jogadas 
<P>
  para ir de A a F em que o percurso seja o menor possvel. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<99>
 3 -- Mudanas de direo e 
  ngulos  

  Observe os ngulos destacados em vermelho nas figuras.

<R+>
_`[{trs figuras adaptadas_`]
 1- Uma placa de trnsito indicando descida.
 2- Os ponteiros de um relgio: ponteiro pequeno no 7 e ponteiro grande no 12.
 3- A frente de uma casa, destacando o ngulo formado por dois lados da casa. 
<R->
 
  Nas brincadeiras podemos tambm encontrar situaes relacionadas a ngulos. 
  Veja o percurso que o carrinho de Clia fez. 
<P>
  Quando ela acionou o controle remoto, o caminho foi do ponto A ao ponto B. 
 
<R+>
<F->                  
        ------------ 
                   
                           
                     
 A =                  = B
                       
                        
<F+>

 wr
  Quantas vezes o carrinho mudou de direo?  
<R->

  Podemos representar cada direo desse caminho por uma linha 
<P>
reta. Observe que h duas mudanas de direo nesse caminho. 

<F->
        O          M
     ---=----------=--- 
                   
                           
                     
 A =                  = B
                       
                        
 
O -- Primeira mudana
M -- Segunda mudana
<F+>

<100>
  Cada mudana de direo pode ser representada por um ngulo. Veja a seguir a representao da 
<P>
primeira mudana de direo do carrinho de Clia. 

<F->           
            *
          *
     R o
      *
    *
  *------o-----
  O     M
<F+>

  Nesse ngulo:  
<R+>
  o ponto O  o vrtice do ngulo; 
  a semirreta :,?{o{r*  um de seus lados e :,?{o{m*, o outro lado. 
<R->
  Esse ngulo recebe o nome de ngulo {r{o{m ou ngulo {m{o{r. A letra que representa o vrtice  colocada entre as outras. Indicamos por :?{r{o{m* ou :?{m{o{r*. 
<P>
  Veja outros exemplos:

<R+>
<F->
    ?
     ?
  P o   
       ?
        ?
         ?------o----
         O     R
<F+>

 Notao: :?{p{o{r* 
 Vrtice: O 
 Lados: :,?{o{p* e :,?{o{r* 

<F->
    M     B
    pcccccoccc
    l_- _
    v---#
    l
    l
 A o
    l
    l
<F+>

 Notao: :?{b{m{a* 
 Vrtice: M 
 Lados: :,?{m{b* e :,?{m{a* 

 :?{b{m{a*  um ngulo reto. Indicaremos os ngulos retos de uma figura geomtrica com a notao _-.

<F-> 
::::o:::::o:::::o:::
    P     A     T         
<F+>

 Notao: :?{p{a{t* 
 Vrtice: A 
 Lados: :,?{a{t* e :,?{a{p* 

 :?{p{a{t*  um ngulo raso. Em um ngulo raso, os lados so semirretas opostas. 
<R->

  Dizemos que:

<R+> 
 Toda figura geomtrica formada por duas semirretas de mesma origem  um ngulo.

 wr
  No polgono e nos poliedros a seguir, foram destacados alguns 
<P>
  ngulos. Identifique dois outros ngulos em cada figura.

_`[{hexgono, polgono retangular e pirmide de base quadrada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

<101> 
 ngulos e medidas 

  Os ngulos so figuras geomtricas planas e podem ser medidos. 
  Existem vrias unidades de medida de ngulos. Uma delas  o grau. 
  O transferidor  um dos instrumentos que podemos usar para medir ngulos. Ele  dividido em graus. Veja, na figura _`[no adaptada_`], 1 grau no transferidor. 

 Transferidor de 180: ngulo de 
  1 grau. Indica-se 1. 
<P>
  Observe como medimos ngulos usando um transferidor _`[no adaptado_`]. 
 
 ngulo de 10 graus. 
 Indica-se: 10.
 ngulo de 90 graus. 
 Indica-se: 90. 

 ngulo agudo e ngulo obtuso 

  Como vimos, um giro de 14 de volta  representado por um ngulo reto, cuja medida  90. Podemos classificar ngulos comparando suas medidas com a de um ngulo reto. 
  Um ngulo agudo tem medida menor que 90 e um obtuso, maior que 90.
<P>
<R+>
<F->
ngulo agudo

      ?       
       ?
        ?   
         ?  
          ? 
 ----------?
<F+>

<F->
ngulo obtuso

?
 ?
  ?   
   ?
    ?
     ?----------
<F+>
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 7. Esta figura representa o percurso de um nibus entre duas 
<P>
  cidades: Alvorada `(A`) e Encanto `(E`). 

<F->
            B
            *?
          *   ?            E
        *      ?          *
      *         ?        *
    *            ?      *
A *              ?----*
                  C   D
<F+>

 a) Observe o desenho e identifique os pontos onde h mudana de direo. 
 b) Que tipo de ngulo  o :?{c{d{e*? E o :?{a{b{c*?  
 c) Utilize um transferidor e descubra qual  a medida de {b{c{d. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 8. Um giro de meia-volta pode ser representado por um ngulo raso. Qual  a medida correspondente a um giro de meia-volta em graus?  
<R->
 
               ::::::::::::::::::::::::

<102>
 4 -- Posies relativas entre 
  duas retas em um plano 

  Observe na situao a seguir os percursos realizados pelos garotos. 
  Paulo e Felipe andam de bicicleta, lado a lado, em linha reta, pela avenida A. 

<R+>
<P>
_`[{paulo diz_`]
  "Vamos em direo  praia." 

<F->
_`[{figura adaptada_`]
Legenda:
Pessoa -- Ps 
Avenida A -- 
               
               
Avenida B -- === 
Paulo -- P
Felipe -- F 

         P F
         l l 
         l l 
         l l 
    ===== l l =====
Ps ::::::l:l::::::      
    ===== l l =====
         l l 
         l l 
         l l  
<F+>

 wr
  Que figuras geomtricas representam o percurso de Paulo e Felipe?  
<P>
  Observe a pessoa que anda de bicicleta pela avenida B. Ela vai na mesma direo que Paulo e Felipe? O que ocorre com o caminho em linha reta dessa pessoa em relao  reta percorrida por Paulo?  
<R->

  Quando temos duas retas em um mesmo plano e observamos a posio de uma em relao  outra, pode ocorrer de elas terem: 
 
<R+>
  a mesma direo: 

<F->
s ::::::::::::::
t ::::::::::::::
<F+>

 Nesse caso, elas no tm pontos comuns. Elas so retas paralelas. Representamos: r_ls. _l significa " paralelo a". 
<P>
  direes diferentes: 

<F->
n          
         
        
       
   P o
      
       
        
 s        
<F+>

 Nesse caso, as retas *v* e *s* tm um s ponto comum, e so retas concorrentes.
<R->

  As retas *a* e *b* so concorrentes e formam entre si quatro ngulos. 
<P>
<R+>
<F->
       a
       l
       l
       l
       pccc
       l_- _
b -----v---#---- 
       l
       l
       l
<F+>
 wr
  Que tipo de ngulos foram formados?  

 Duas retas concorrentes que determinam quatro ngulos retos so retas perpendiculares. Representamos: a#.b ou b#.a. O smbolo #. significa:  perpendicular a.
<R-> 

<103>
 Mapas e localizao 

  Mariana visitar Joo e consulta um esboo _`[no adaptado_`] com indicaes de onde fica a casa dele. 

<R+>
 wr
  Em que posio se encontra Mariana? Qual o significado dessa indicao? 
  Em que posio se encontra a casa de Joo? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

  A localizao de objetos, pessoas e ruas, por exemplo, depende da determinao de pontos de referncia considerados em certa situao. No caso anterior, foram consideradas duas retas perpendiculares e uma malha quadriculada sobre o mapa. Os nmeros e as letras so usados para indicar uma localizao. 

 Cachorro -- 2A; praa -- 5C; 
  mercado -- 6A e igreja -- 
  1C.
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 9. Use um canto reto de uma folha de papel e identifique os pares de retas perpendiculares nestas figuras. Quais so eles?
<R->
<F->
a)     
       
      
      
       
        
         
 
b) ?             * 
      ?         *
        ?     *
         ?  *
           =
          * ?
        *     ?
      *         ?
    *             ? 

c)    l
       l
       l
:::::::r::::::: 
       l
       l
       l

d)    ?        
         ?    
           ?   
             ?   
               ? 
<F+>

<R+>
 10. Na figura a seguir, as retas *r*, *s* e *t* so paralelas e as retas *r* e *s* so perpendiculares. O que se pode afirmar sobre as retas *t* e *s*? Por qu?
<R->
<P>
<F->
        l
        l
        l
r ------v------- 
        l
        l            
t ------v-------       
        l     
        l 
        l 
        s
<F+>

<R+>
 11. Observe o desenho _`[no adaptado_`] e responda s questes.
 a) Que objeto est na posio 5B?  
 b) Qual a posio do bon, da peteca e do carrinho? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->
 
<104>
<P>
 Desenhando com rgua e esquadro 

<R+>
_`[{para as atividades a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Com um esquadro e uma rgua (ou dois esquadros), podemos desenhar retas paralelas de forma prtica. 
  Desenhe em seu caderno observando a sequncia a seguir:
<R+>
 Use o esquadro e desenhe uma reta. Identifique-a com *r*. 
 Ajuste uma rgua a um dos lados do esquadro e mantenha-a fixa. 
 Deslize o esquadro sobre a rgua e trace retas. 

 wr
  Como so as retas que voc desenhou?  
<R->

  Podemos desenhar, tambm, retas perpendiculares com o auxlio de rgua e esquadro. 
<R+>
 Desenhamos uma reta *r* qualquer. Ajustamos uma rgua  reta e a mantemos fixa. 
 Ajustamos um dos lados do ngulo reto do esquadro junto  rgua e traamos a reta *s*. 
 Deslizamos o esquadro sobre a rgua e desenhamos outras retas perpendiculares a *r*. 
<R->

 Fazer e aprender 
 
  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 12 a 15, pea orientao ao professor_`]

 12. Desenhe uma reta e identifique-a por *t*. Em seguida, usando uma rgua e um esquadro, trace trs retas paralelas a *t*.  
 13. Desenhe uma reta *r* e um ponto A fora dela. Em seguida, usando uma rgua e um esquadro, trace, pelo ponto A, uma reta paralela a *r*.  
<P>
 14. Desenhe uma reta *t* e marque um ponto P fora dela. Depois, trace com um esquadro uma reta *m*, perpendicular a *t* e que passe por P. 

 15. Desenhe uma reta *s* e marque sobre ela dois pontos: M e N. Em seguida: 
 a) trace uma reta perpendicular a *s* e que passe pelo ponto M; 
 b) trace uma reta perpendicular a *s* e que passe pelo ponto N; 
 c) marque outros pontos na reta e trace perpendiculares  reta *s*, passando por esses pontos. O que voc observou nas retas que traou? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<105>
 5 -- Tratamento da informao 

 Contagem e possibilidades 

  Tambm em Geometria temos situaes que envolvem a contagem de vrias possibilidades. Se organizarmos nossos registros por meio de tabelas, por exemplo, poderemos evitar o esquecimento de algumas dessas possibilidades. 
  Na figura a seguir temos quatro retas em um mesmo plano. 

<F->  
               c   d
                    
                
a ---------------------- 
              
b --------------------- 
           
           
<F+>

<R+>
 wr
  Quantos pares de retas podemos formar com elas? 
  Identifique dois pares de retas paralelas.  
  Identifique trs pares de retas concorrentes. 
<R->

  Podemos organizar as possibilidades de combinaes entre as retas em uma tabela como a que segue, representando com o smbolo _l as retas paralelas e com o smbolo ^? as retas concorrentes. 

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em quatro colunas_`]
1 coluna: Escolha de uma reta
2 coluna: Escolha de outra reta
3 coluna: Par de retas
4 coluna: Posio relativa das retas

!:::::::::::::::::::::
l 1 _ 2 _ 3  _ 4 _
r:::::w:::::w::::::w:::::w
l a   _ b   _ a, b _ _l  _
l a   _ c   _ a, c _ ^?  _
l a   _ d   _ a, d _ ^?  _
l b   _ c   _ b, c _ ^?  _
l b   _ d   _ b, d _ ^?  _
l c   _ d   _ c, d _ _l  _
h:::::j:::::j::::::j:::::j
<F+>
<R->

  Assim, temos dois pares de retas paralelas: *a* e *b*, *c* e *d*; e quatro pares de retas concorrentes: *a* e *c*; *a* e *d*; *b* e *c*; *b* e *d*. 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 16. As retas da figura a seguir esto em um mesmo plano; a_lb e c_ld_le.
<R->

<F->
           c   d   e
                
               
a ---------------- 
             
b ---------------- 
           
           
<F+>

<R+>
 a) Quais so os pares de retas que podemos formar?
 b) Identifique trs pares de retas paralelas. 

 17. Na figura, temos 6 retas em um mesmo plano. As retas *x*, *y* e *z* so paralelas entre 
<P>
  si; as retas *r*, *s* e *t* tambm so paralelas entre si. 
<R->

<F->         
             x   y   z
                   
                 
r ------------------ 
               
s ------------------ 
             
t ---------------- 
           
          
<F+>

<R+>
 Responda, organizando suas respostas em uma tabela:  
 a) Quais so os possveis pares de retas paralelas? 
 b) Quais so os possveis pares de retas concorrentes?
<R->

<106>
 Troque ideias e resolva

  Para esta atividade, voc vai precisar de quatro varetas de pipa, fita adesiva e um bloco retangular que poder construir com o molde que o professor lhe oferecer. 
<R+>
  Fixe as varetas sobre as arestas do bloco retangular, usando fita adesiva, conforme indica a figura. 
  Depois de pronto, observe seu bloco retangular e, de acordo com a figura, determine a posio entre as retas: 

_`[{figura das retas_`]
<F->
      c        d
      l        _  
      l        _
a ::::r::::::::w::::
      l        _
      l        _
      l        _
b ::::r::::::::w::::
      l        _
      l        _
<F+>

 a) *a* e *c*; 
 b) *c* e *d*; 
 c) *a* e *b*;  
 d) *b* e *d*;  
<P>
 e) *a* e *d*;  
 f) *c* e *b*. 
<R->

 Leitura + (mais)

 Ser que as abelhas conhecem 
  Matemtica? 

   provvel que voc j tenha ouvido falar que as abelhas formam uma sociedade muito organizada. Mas ser que elas sabem Geometria? Isso  novidade. 
  Um etlogo, o cientista que estuda o comportamento dos animais, conseguiu filmar como  feita a escolha do local para uma nova colmeia. 
  A rainha e algumas operrias estudam uma regio, depois voltam  colmeia e, danando, revelam em que direes ficam os lugares visitados. 
  Usando a dana como meio de expresso, essas abelhas fazem coreografias em forma de 8 _`[no sistema comum de escrita_`]. Os bals areos determinam eixos cujos ngulos, em relao ao Sol, indicam as direes dos novos locais. 
  Outro exemplo de que as abelhas "conhecem" Geometria  o formato dos alvolos das colmeias: so prismas hexagonais quase perfeitos! 

<107>
 Reviso cumulativa e testes
 
  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
_`[{para as atividades 1, 2, 3 e 8, pea orientao ao professor_`]

 1. Copie este desenho. Em seguida, pinte de azul a semirreta :,?{a{m* e de amarelo a semirreta :,?{m{b*. Que figura geomtrica ficou pintada de azul e amarelo?  
 
<F-> 
        B      A      M
r ::::::o::::::o::::::o:::::
<F+>

 2. Observe os ngulos destacados nas figuras _`[no adaptadas_`] e responda s questes. 
 a) Quais so os ngulos destacados. Nomeie-os. 
 b) Que tipo de ngulo so esses?  

 3. Desenhe quatro tringulos que tenham um ngulo reto como este _`[no adaptado_`] e observe os outros dois ngulos. O que voc pode afirmar sobre eles? 
 4. Lcia distribuiu R$390,00 entre Joo e Ana. Ana ganhou R$20,00 mais que Joo. Que quantia recebeu cada um?  
 5. Um zoolgico fez uma grande promoo em um feriado. Logo na abertura foram vendidos 53 ingressos a um total de R$391,00. Quantas crianas e quantos adultos pagaram por esses ingressos?

 Promoo 
  Criana -- R$5,00
  Adulto -- R$12,00

 6. (Saresp) Usando os algarismos 1, 2 e 3, sem repetir nenhum,  possvel formar:  
 a) dois nmeros de trs algarismos. 
 b) trs nmeros de trs algarismos. 
 c) quatro nmeros de trs algarismos. 
 d) seis nmeros de trs algarismos. 

 7. (Saresp) Numa escola foi feita uma pesquisa para verificar o esporte preferido das turmas de 6 ano, e o nmero de alunos que escolheram cada esporte est indicado no grfico. 
<R->

<R+>
<F->
_`[{grfico "Esportes preferidos dos alunos de 6 ano" adaptado_`]
Legenda:
Futebol: F
Vlei: V
Basquete: B
Outros: O

Alunos
 60 l
     l
 50 pcc
     l  
 40 l  
     l  
 30 l  
     l  
 20 pcccc
     r::::::==
 10 l      
     r::::::::==
  0 v-----------
        F  V  B  O Esporte
<F+>

 De acordo com o grfico,  correto afirmar que exatamente 50 alunos preferem:  
 a) futebol. 
 b) vlei. 
 c) basquete. 
 d) outros esportes. 

 8. (Saresp) Observe os desenhos _`[no adaptados_`], feitos no computador, para indicar caminhos percorridos por um robozinho. O desenho que indica que o robozinho mudou somente duas vezes de direo e em ngulo reto :  
 a) figura 1 
 b) figura 2  
 c) figura 3 
 d) figura 4
<R->

               oooooooooooo

<108>
<P>
 Unidade 6 

 Divisibilidade

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: Cerimnia de abertura das Olimpadas de Pequim, na China, em 8 de agosto de 2008. 
<R->

  No incio, os Jogos Olmpicos eram realizados na antiga cidade grega de Olmpia, a cada 4 anos. Os primeiros Jogos Olmpicos aconteceram no ano de 776 a.C. As Olimpadas modernas, realizadas em diferentes pases, continuam acontecendo a cada 4 anos. Observe os ltimos anos em que elas aconteceram e onde:

 1980 -- Moscou (Rssia) 
 1984 -- Los Angeles (Estados 
  Unidos) 
 1988 -- Seul (Coreia do Sul) 
 1992 -- Barcelona (Espanha) 
 1996 -- Atlanta (Estados 
  Unidos) 
 2000 -- Sydney (Austrlia) 
 2004 -- Atenas (Grcia) 
 2008 -- Pequim (China) 
<109>

   possvel dispor 60 carrinhos em um formato retangular com 6 filas, colocando 10 carrinhos em cada uma, por exemplo. Mantendo a forma retangular, tambm podemos organizar 5 filas de 12 carrinhos, ou, ainda, 4 filas de 15 carrinhos, mas... 

_`[{o menino pensa_`]
  "... ser possvel colocar 18 carrinhos em cada fila?!?"

_`[{figuras adaptadas_`]
<R+>
 Legenda: 
  -- representa um carrinho.
<R->
<P>
<F->
        10
!:::::::::::::::::::
l         _
l         _
l         _ 6
l         _
l         _
l         _
h:::::::::::::::::::j

          12
!:::::::::::::::::::::::
l           _
l           _
l           _ 5
l           _
l           _
h:::::::::::::::::::::::j

             15
!:::::::::::::::::::::::::::::
l              _
l              _
l              _ 4
l              _
h:::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>
<P>
  Muitos nmeros naturais podem ser relacionados entre si ou formar sequncias numricas com particularidades prprias.
  As regularidades numricas que podem ser observadas nessas situaes geram propriedades dos nmeros naturais.
  Vamos conhecer algumas delas nesta unidade.
<R+>
  Compare os nmeros que formam a sequncia dos anos em que aconteceram as Olimpadas. O que h em comum a eles? 
  Que resposta voc encontrou para a situao dos carrinhos?  
<R->

<110>
 1 -- Sequncias numricas e 
  regularidades 

  Voc j percebeu que  possvel contar, fazer clculos, resolver problemas e ainda brincar com os nmeros? 
  Muitas dessas brincadeiras so resultado de fatos que acontecem sempre em determinadas situaes com os nmeros.  o que chamamos de regularidades. Elas deram origem s propriedades dos nmeros. 
  Vamos conhecer algumas delas. 
  A sequncia de nmeros no quadro tem segredos. 
  Se descobrir um deles, voc poder saber qual  o nmero que vem logo depois do 14. 

_`[{o professor diz_`]
  "Qual  o prximo nmero?"

 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 
  14 ...

<R+>
 wr
  Que nmero poder vir logo depois do 14 nessa sequncia? Por qu?  
<R->

  Observe esta sequncia de figuras, associada a uma sequncia de nmeros: 
 
<R+>
_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda: 
 o -- representa uma bolinha
<R->
<F->
o :> 1

oo
oo :> 4

ooo
ooo 
ooo :> 9

oooo
oooo
oooo
oooo :> 16

ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo :> 25
<F+>

<R+>
 wr
  Qual poder ser a prxima figura? Qual poder ser o prximo nmero? 
<P>
  Qual poder ser um dos prximos nmeros nesta sequncia? E o 15 nmero?

 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 ...
<R->

  Os nmeros 1, 4, 9, 16, 25 ..., dados da segunda sequncia numrica, so chamados de quadrados perfeitos ou nmeros quadrados, pois  possvel represent-los usando quadrados. 
  Os nmeros apresentados na terceira sequncia numrica esto aumentando de 6 em 6. Logo, o prximo nmero ser 48+6, que  54. Determinando os demais termos, o 14 nmero ser 78; portanto, o 15 nmero ser 78+6, que  84. 
<111> 
  Voc pode raciocinar tambm assim: 
  Os nmeros da terceira sequncia so os produtos dos nmeros naturais por 6. Por isso so chamados de mltiplos de 6. 

<R+>
 Nmeros naturais: 
 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
  8, ...
 6.0, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, ...
 Sequncia dos mltiplos de 6:
 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
<R->

  O prximo nmero ser: 6.9, que  54. Para calcular o 15 nmero, observe que o 9 nmero  6'8 e o 10, 6'9 ... Logo, o 15 ser 6'14, que  84. 
  A palavra mltiplo est relacionada  multiplicao.

_`[{a menina diz_`]
  "Os mltiplos de 6 so os resultados da tabuada do 6!" 
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 1. Que tipos de nmero fazem parte da sequncia: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...? 
 2. O nmero 25 faz parte da sequncia da atividade 1? E o 30?  
 3. Copie esta sequncia, substituindo os y por mltiplos de 3 e escrevendo outros cinco alm destes: 

 0, 1, 2, 3, 4, ...
 3.0, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4

 Mltiplos de 3: 
 0, 3, 6, y, y, ...

 4. Explique com suas palavras o que significa a expresso mltiplo de 4. 
 5. Identifique trs mltiplos de 5.  

 6. Estes nmeros so chamados de nmeros triangulares. Observe as somas obtidas quando adicionamos os primeiros nmeros naturais e compare-os com os nmeros triangulares 1, 3, 6, 10 e 15. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 o -- representa uma unidade
<R->
<F->

 o
oo :> 1+2=3

  o
 oo 
ooo :> 1+2+3=6

   o
  oo 
 ooo
oooo :> 1+2+3+4=10
<P>
    o
   oo 
  ooo
 oooo
ooooo :> 1+2+3+4+5=15
<F+>

<R+>
 a) O que ocorre com as somas dos primeiros nmeros naturais?  
 b) Qual  o 10 nmero triangular?  
<R->

 Troque ideias e resolva

  O que ocorre com o produto de um nmero qualquer por zero? D exemplos.  
  A afirmao seguinte  verdadeira ou falsa? O zero  mltiplo de qualquer nmero natural. 

               ::::::::::::::::::::::::

<112> 
 2 -- Divisibilidade 
 
  A professora apresentou 20 quadrados do tipo y arrumados em 4 linhas e 5 colunas, de modo 
<P>
que o contorno da figura formada fosse um retngulo.

<F->
!::!::!::!::!::!::!::
l  l  l  l  l  l  l  _
r::r::r::r::r::r::r:: 
l  lylylylylyl  _ _ 
r::r::r::r::r::r::r:: _
l  lylylylylyl  _ _ 
r::r::r::r::r::r::r:: _ 4
l  lylylylylyl  _ _
r::r::r::r::r::r::r:: _
l  lylylylylyl  _ _
r::r::r::r::r::r::r:: j
l  l  l  l  l  l  l  _
h::h::h::h::h::h::h::j
   r::::::::::::::l
         5

<F+>
_`[{a professora diz_`]
  "Desenhe a resposta obtida em papel quadriculado." 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
<R+>
 wr
   possvel obter o mesmo tipo de arrumao com 10 linhas? Por qu? 
  E com 6 linhas? Por qu?  
<R->

   possvel arrumar 20 quadrados do tipo y em uma forma retangular com 10 linhas, mas no  possvel obter essa forma com 6 linhas. Veja por qu: 
  A diviso de 20 por 10  exata. 

 2010=2 resto 0 

  Dizemos, ento, que 20  divisvel por 10. 
  Como 2'10=20, dizemos que 20  mltiplo de 10 e tambm que 20  mltiplo de 2. 
  A diviso de 20 por 6 no  exata. 

 206=3 resto 2 
<P>  
  Dizemos, ento, que 20 no  divisvel por 6 e tambm que 20 no  mltiplo de 6. 
  Outros exemplos: 
<R+>
 a) 1405=24 resto 0 
    1409=15 resto 5  
 140  divisvel por 5, mas no por 9. 
 b) 1.2364=309 resto 0 
    1.23613=95 resto 1 
 1.236  mltiplo de 4, mas no de 13. 
<R->

<113> 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 7. Noventa candidatos disputam uma vaga para cantar em um coral. Para a seleo, eles devero formar grupos que tenham no mnimo 5 candidatos e no mximo 8. De que maneiras eles podero se agrupar? 
<P>
 8. Anote apenas as frases verdadeiras:  
 a) 100  divisvel por 10. 
 b) 100  divisvel por 1 e por 100. 
 c) 10  divisvel por zero. 
 d) 1  divisvel por 9. 
 e) Todo nmero natural  divisvel por 1. 
 f) Todo nmero natural  divisvel por zero. 

 9. Escreva cada um destes nmeros como um produto de dois fatores: 
 a) 64  
 b) 40 
 c) 100  
 Agora copie e complete, substituindo a ... pelos fatores que voc escreveu:  
 d) 64  divisvel por ... 
 e) 40  divisvel por ... 
 f) 100  divisvel por ... 
<R->
<P>
 Troque ideias e resolva

  Qual  o maior nmero menor que 300 divisvel por 7? 
  Escolha dois nmeros que sejam divisveis por 3 e adicione-os. A soma obtida  um nmero divisvel por 3?  
  Compare a sua resposta com a dos colegas. Todos obtiveram a mesma resposta? 
   possvel chegar a uma concluso quando duas parcelas adicionadas so divisveis por 3? Qual?  

 Seo + (mais)
 
 TENTE 

 Tem dois algarismos iguais 
 E  divisvel por 3. 
 No  divisvel por 5. 
 Tambm  divisvel por 4. 
 Est entre 900 e 999. 
<P>
 Que nmero  esse? 
<R+>
 884 -- 896 -- 900 -- 993 -- 995 -- 996 
<R->

_`[{a menina pensa_`]
  "A soluo est entre esses nmeros!" 

               ::::::::::::::::::::::::

<114>
 3 -- Critrios de divisibilidade 

  Existem regras que permitem verificar a divisibilidade de alguns nmeros por outros, sem efetuar a diviso. Essas regras so chamadas de critrios de divisibilidade. 

 Divisibilidade por 2 

  A professora de Matemtica props para a classe: 
  Pensem em um nmero par qualquer. Em seguida dividam esse nmero por 2. 
<P>
_`[{quatro alunos pensam_`]
  "102=5 resto 0"; "302=15 resto 0"; "242=12 resto 0"; "22=1 resto 0"

<R+>
 wr
  O que h de comum a todas essas divises?  
  Pense em um nmero par qualquer. Ele  divisvel por 2?  
<R->

_`[{a professora pergunta_`]
  "E ento, o que aconteceu?"

_`[{os alunos respondem_`]
  "O resto deu zero!!!" 

_`[{a professora diz_`]
  "Ento, todos os nmeros pares so divisveis por 2." 

_`[{um aluno diz_`]
  "Legal!!! So divisveis por 2 todos os nmeros que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8." 
  
<115> 
<P>
  Por outro lado, nenhum nmero mpar  divisvel por 2. Observe: 
 
 92=4 resto 1
 152=7 resto 1
 872=43 resto 1
 2132=106 resto 1

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 2 quando ele  um nmero par. E todo nmero par  mltiplo de 2.
<R->

 Divisibilidade por 3 

  Forme um grupo e procure encontrar uma resposta para a situao mostrada a seguir. 
  Estes nmeros so divisveis por 3. 
  Calcule a soma dos algarismos de cada um deles e compare-as. 

 15 -- 18 -- 24 
 72 -- 153 -- 108 
 300 -- 414 -- 8.004 
 
<R+>
 wr
  Existe algum fato comum a essas somas? 
<R->

  Em todos esses nmeros, a soma dos algarismos  sempre divisvel por 3: 

<R+>
 15 -- 1+5=6 -- 6  divisvel por 3. -- 15  divisvel por 3. 
 18 -- 1+8=9 -- 9  divisvel por 3. -- 18  divisvel por 3. 
 153 -- 1+5+3=9 -- 9  divisvel por 3. -- 153  divisvel por 3. 
 8.004 -- 8+0+0+4=12 -- 12  divisvel por 3. -- 8.004  divisvel por 3. 
<R->

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 3 quando a soma dos algarismos de sua escrita numrica for divisvel por 3.
<R->
<P>
  Lembre-se de que o zero  divisvel por 3. 

<116> 
 Divisibilidade por 9 

  Para a divisibilidade por 9 temos uma regra semelhante ao critrio que se utiliza para 3. Observe a soma dos algarismos da escrita numrica de alguns exemplos: 

<R+>
 1) 90 -- 9+0=9 -- 9  divisvel por 9; 90  divisvel por 9. 
  909=10 resto 0 
 2) 2.871 -- 2+8+7+1=18 -- 18  divisvel por 9; 2.871  divisvel por 9. 
  2.8719=319 resto 0
 3) 4.603 -- 4+6+0+3=13 -- 13 no  divisvel por 9; 4.603 no  divisvel por 9. 
  4.6039=511 resto 4

 wr
  Apresente trs outros nmeros divisveis por 9.  
 Um nmero natural  divisvel por 9 quando a soma dos algarismos de sua escrita numrica for divisvel por 9.
<R->

  Lembre-se de que o zero  divisvel por 9. 

 Divisor de um nmero natural 

  Leia com ateno. 

_`[{o professor diz_`]
  "100  divisvel por 5, ento... 
  ...5  divisor de 100."

 1005=20 resto 0

_`[{o menino diz_`]
  "Legal! Ento 1, 2, 4 e 10 tambm so divisores de 100!"

<R+>
 wr
  Identifique trs outros divisores de 100. 
<P>
 Um nmero natural  divisor de outro quando a diviso deste outro pelo nmero natural for exata.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 10. Um nmero que termina em 5  divisvel por 2? Por qu?
 11. 16.302  um nmero divisvel por 9? Se a resposta for negativa, substitua um dos algarismos e obtenha um nmero divisvel por 9.

<117>
 12. Sem efetuar a diviso, identifique os nmeros que so divisveis por 2. 
 a) 37  
 b) 508  
 c) 999
 d) 2.000 
 e) 5.403 
 f) 10.006 
<P>
 13. Sem efetuar a diviso, identifique os nmeros que so divisveis por 9.  
 a) 66  
 b) 207  
 c) 981  
 d) 1.000 
 e) 4.977 
 f) 23.571
  Os nmeros que voc identificou so divisveis por 3? 

 14. Das quantias a seguir, quais podem ser obtidas somente com notas de R$2,00?  
 a) R$61,00  
 b) R$98,00  
 c) R$83,00  
 d) R$100,00
 e) R$504,00
 f) R$1.203,00

 15. Cada um destes nmeros  divisvel por 3. O y esconde um dos algarismos. Quais so os 
<P>
  algarismos que podem estar escondidos?
 a) 3ye   
 b) 3.yeb  
 c) #a.byh 
 d) #d.eiy  

 16. Cada um destes nmeros  divisvel por 9. O y esconde um dos algarismos. Quais algarismos podem estar escondidos? 
 a) 23y  
 b) 1.yed  
 c) #c.fiy 

 17. Qual  o menor nmero natural que deve ser adicionado a 203 para se obter um mltiplo de 3? Que mltiplo  esse? 
 18. Identifique cinco divisores de 60. 
 19. Determine o menor nmero natural, diferente de zero, divisvel por 2, 3 e 9 ao mesmo tempo.  
<P>
 20. Quais nmeros mais prximos de 4.132 so divisveis por 3? Cite um menor e outro maior que 4.132. 
<R->
 
 Troque ideias e resolva 

  Zero  divisor de algum nmero natural?  
  1  divisor de algum nmero natural?   
  Zero  divisvel por algum nmero natural?  

 Divisibilidade por 5 

  Observe a proposta feita pela professora de Matemtica: 

_`[{a professora diz_`]
  "Pensem em um nmero que termine em 5 ou 0. Depois, dividam esse nmero por 5." 
<P>
_`[{quatro alunos pensam_`]
  "25 -- 255=5 resto 0"; "60 -- 605=12 resto 0"; "215 -- 2155=43 resto 0"; "850 -- 8505=170 resto 0."

<R+>
 wr
  O que ocorre em comum s divises efetuadas?  
  O que ocorre com os nmeros escolhidos pelos alunos?  
<R->

<118>
  Agora, veja: 
  38 no termina nem em 5 nem em 0. 385=7 resto 3 -- 38 no  divisvel por 5. 
  417 no termina nem em 5 nem em 0. 4175=83 resto 2 -- 417 no  divisvel por 5. 

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 5 quando ele termina em 5 ou em zero.
<R->
<P>
 Divisibilidade por 10 

  Voc se lembra do que ocorre com o produto quando se multiplica um nmero por 10? 

_`[{a menina diz_`]
  "Lembrei! Basta acrescentar um zero ao 341." 

 341"10=... 
 341"10=3.410

  Agora, veja: 

 3.41010=341 
 3.410  divisvel por 10. 

  Todo nmero natural cujo algarismo das unidades  zero  divisvel por 10. Ou: 
 
<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 10 quando termina em zero.
<R->
<P>
  Veja outros exemplos: 

 1) Os nmeros 50, 100, 340 e 
  1.200 so divisveis por 10. 

 5010=5 resto 0 
 10010=10 resto 0
 34010=34 resto 0
 1.20010=120 resto 0
 
  Nesse caso, temos sempre uma diviso exata. 
  Lembre-se de que todo nmero natural divisvel por 10 tambm  divisvel por 5. 

 2) Os nmeros 47, 75, 408 e 
  1.025 no terminam em zero e, 
  portanto, no so divisveis por 
  10. 
 
 4710=4 resto 7
 7510=7 resto 5
 40810=40 resto 8
 1.02510=102 resto 5
  
<119>
<P>
 Fazer e aprender
 
  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 21. Responda sem fazer o clculo: o nmero 12.675  divisvel por 5? Por qu?  

 22. Pesquise um pouco mais a divisibilidade por 10. 
 a) 270  divisvel por 10. Ele tambm  divisvel por 5? Por qu? 
 b) Pense em um nmero divisvel por 10. Ele tambm  divisvel por 5? Por qu?
 c) Quais foram as respostas dadas por seus colegas  pergunta anterior?  
 d) A afirmao Todo nmero divisvel por 10  divisvel por 5  verdadeira?  
<P>
 23. Pesquise um pouco mais a divisibilidade por 5 respondendo s questes: 
 a) 435  divisvel por 5. Ele tambm  divisvel por 10? Por qu?  
 b) Pense em um nmero divisvel por 5 e que no termine em zero. Ele tambm  divisvel por 10? Por qu?  
 c) Quais foram as respostas dadas por seus colegas  pergunta anterior?  
 d) A afirmao Nem todo nmero divisvel por 5  divisvel por 10  verdadeira?  
 e) A afirmao Todo nmero divisvel por 2 e por 5  divisvel por 10  verdadeira?  
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 24. Divisibilidade, medidas e geometria. 
<P>
 a) Pinte 36 quadrados colocados em linhas e colunas, em um papel quadriculado de modo que o contorno da figura obtida seja um retngulo. Em seguida, escreva um produto para representar a quantidade de quadrados do seu desenho. 
 b) Compare a soluo que voc encontrou com a de alguns colegas. Elas so iguais  sua? 
 c) Identifique quatro divisores de 36. 
 d) Existe alguma figura com 36 quadradinhos que tenha a forma de um quadrado? Se existir, desenhe-a no papel quadriculado.  

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 25. O nmero 237  divisvel por 2? E por 3? Por qu? 

 26. Separe estes nmeros em trs grupos: `(A`) divisveis por 2; `(B`) divisveis por 2 e por 3; e `(C`) no divisveis nem por 2 nem por 3: 
 a) 249 
 b) 3.957
 c) 1.025
 d) 2.436
 e) 10.000  
 f) 10.008 
 g) 11.846 
 h) 60.002 

 27. O nmero 735  divisvel por 5. 
 a) Qual o menor nmero natural que pode ser somado a 735 para que o resultado seja divisvel por 10?  
 b) Qual o menor nmero natural, diferente de zero, pelo qual 735 pode ser multiplicado para que o resultado seja divisvel por 10?  

 28. Identifique as quantias que podem ser formadas somente com notas de R$5,00:  
 a) R$18,00 
 b) R$50,00 
 c) R$120,00 

 29. Copie apenas as frases verdadeiras.  
 a) Todo nmero que termina em 3  divisvel por 3. 
 b) Todo nmero divisvel por 2  um nmero par. 
 c) Todo nmero divisvel por 10  tambm divisvel por 2 e por 5. 
 d) Existem nmeros que so divisveis por 9 e no so divisveis por 3. 
 e) O zero no  divisvel por nenhum nmero natural. 

 30. Que nmero  divisvel por qualquer nmero natural diferente de zero?  

 31. Observe os produtos de dois fatores que resultam em 20: 4'5; 2'10; 1'20. 
 a) 10  divisor de 20?  
 b) 0  divisor de 20?  
 c) Determine todos os divisores de 20.  
<R->

<120>
 Seo + (mais)

 CDs e promoes

  Na Som Brasil, cada CD custa R$24,00. Mas, na sua concorrente Bom Som h uma promoo e os mesmos CDs so vendidos a R$18,00 cada um. 
<R+>
  Qual  o menor nmero de CDs que voc pode comprar em cada loja, gastando a mesma quantia? 
  Qual  essa quantia?  

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::
l quantidade   _     _     _     _
l de CDs    _ 1  _ 2  _ 3  _
r::::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l R$ na       _     _     _     _
l Som Brasil _ 24 _ 48 _ ''' _
r::::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
l R$ na       _     _     _     _ 
l Bom Som    _ 18 _ 36 _ ''' _
h::::::::::::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>
 Construa uma tabela em seu caderno...
<R->

 Divisibilidade por 4

  Observe os algarismos das dezenas e das unidades do dividendo de cada diviso. 
 
 1124; 3124; 4124.

<R+>
 wr
  Que nmero eles formam? Esse nmero  divisvel por 4? 
  Os nmeros 112, 312 e 412 so divisveis por 4?  
<R->

  Observe agora estas divises. 

 2364; 1364; 9364.

<R+>
 wr
  Qual  o nmero formado pelos algarismos das dezenas e das unidades do dividendo de cada diviso? Esse nmero  divisvel por 4?  
  Pense em outro nmero terminado em 36. Ele  divisvel por 4?  
<R->

  Todos os nmeros das situaes anteriores so divisveis por 4. O nmero formado pelos algarismos das dezenas e das unidades simples desses nmeros tambm  divisvel por 4. 

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 4 quando o nmero formado pelos algarismos das dezenas e das unidades simples desse nmero  divisvel por 4.
<R->

<121> 
 Divisibilidade por 6 

  Estes nmeros so divisveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo: 36 e 6.702. 

<R+>
 wr
  O que ocorre com a diviso desses nmeros por 6?  
<P>
 36  divisvel por 2, pois  um nmero par. 
 36  divisvel por 3, pois 3+6=9, e 9  divisvel por 3. 
 366=... resto ...

 756=... resto ...

 6.702  divisvel por 2, pois  um nmero par. 
 6.702  divisvel por 3, pois 6+7+2=15, e 15  divisvel por 3. 
 6.7026=... resto ...
<R->

<R+>
 Um nmero natural  divisvel por 6 quando ele  divisvel por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 32. Observe os nmeros a seguir: 
  45.316; 2.518; 9.624. 
 a) Quais deles so divisveis por 4?  
 b) 4  divisor de algum deles? De qual? 
 c) 6  divisor de algum deles? De qual?  

 33. Neste quadro, *n* representa um algarismo. 

<F->
 !::::::::::::::::
 l 2 _ 5 _  n _ 8 _
 h::::j::::j::::j::::j
<F+>

 a) Substituindo *n* por 2, obtm-se um nmero divisvel por 4? E por 6?  
 b) Substituindo *n* por 4, obtm-se um nmero divisvel por 4? E por 6?  
<P>
 c) Qual  o algarismo de menor valor que se deve colocar no lugar de *n* para que 6 seja divisor do nmero obtido?  
<R->

 Troque ideias e resolva 

  Qual  o maior nmero natural formado por trs algarismos diferentes e divisvel ao mesmo tempo por 2, 3 e 4? 
  Qual  o menor nmero natural divisvel por 2, 3, 5 e 10 ao mesmo tempo?   

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 34. Copie apenas as frases verdadeiras.  
 a) Existem nmeros que terminam em 2 que so divisveis por 4. 
 b) Todo nmero que termina em 4  divisvel por 4. 
<P>
 c) Existem nmeros divisveis por 6 e que no so divisveis por 2. 

 35. Responda:  
 a) 5.064  divisvel por 6? Por qu? 
 b) 4  divisor de 12.348? Por qu?  
 c) 60.062  mltiplo de 6? Por qu?  

 36. Sem efetuar o clculo, identifique as divises que so exatas e copie-as:  
 a) 5793  
 b) 7746 
 c) 9996  
 d) 9.78010 
 e) 10.4024 
 f) 80.0005

<122>
 37. Qual  o maior nmero de trs algarismos divisvel por: 
 a) 2?  
 b) 5? 
 c) 9?  

 38. Observe o nmero a seguir: 20.886 
 a) Ele  divisvel por 6?
 b) Escreva outro nmero usando esses algarismos. Ele  divisvel por 6?  
 c) Usando esses algarismos, escreva um nmero que no seja divisvel por 6. 

 39. Copie a tabela e complete-a com os nmeros: 138, 309, 456, 514, 606, 666 e 780. Observe o exemplo.

<F->
          !:::::::::::::::::::
          l   divisivel por  _
!:::::::::r:::::::::::::::::w
l nmero  l  2  _  3  _ 6  _
r:::::::::l::::::w::::::w:::::w
l  72    l  x   _  x   _ x   _
h:::::::::h::::::j::::::j:::::j
<F+>

 40. Observe a escrita 4'n. Nela, *n* representa qualquer nmero natural, e 4'n representa o produto de 4 por *n*. Assim, se *n*  45, substituindo *n* por 45 na expresso 4'n, teremos 4'45, que  igual a 180. 
 a) Copie e complete em seu caderno uma tabela como esta:

_`[{tabela adaptada em duas colunas_`]
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l valor de n _ valor de 4.n _
r::::::::::::w:::::::::::::::w
l 1         _ 4            _
l 2         _ '''           _
l 3         _ '''           _
l 4         _ '''           _
l '''        _ 20           _
l '''        _ 24           _
l 7         _ '''           _
l 8         _ '''           _
l 9         _ '''           _
l 10        _ '''           _
l '''        _ 44           _
l 12        _ '''           _
h::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

 b) Imagine que essa tabela continue e tenha quatro linhas a mais. Quais nmeros estaro na ltima linha? Como voc chegou a essa resposta? 

 41. Baseando-se na tabela que voc construiu na atividade anterior, verifique se estas afirmaes so verdadeiras ou falsas: 
 Se *n* representa um nmero natural, 4'n representa o dobro desse nmero.  
 Se *n* representa um nmero natural, 4'n representa um mltiplo de 4.  
 42. Como voc representaria um mltiplo qualquer de 9?  
<R-> 

 Seo + (mais)
 
 Decomposio e divisibilidade 

  Uma das formas de encontrar a soluo para a questo a seguir  dividindo 1.092 por 7. 

 1.0927=156 resto 0

  Como a diviso  exata, 1.092  divisvel por 7. Outra maneira  decompondo 1.092 em uma soma de parcelas divisveis por 7: 7, 14, 21, 28, ..., 42, ..., 490, ... 

<R+>
_`[{um menino pergunta para o outro menino_`]
<R->
  "1.092  divisvel por 7?" O outro menino fica em dvida: "?"
 
  Veja como ficar essa decomposio se usarmos 490, 70 e 42: 

 1.092=490+490+70+42 
 490 --  divisvel por 7. 
 490 --  divisvel por 7. 
 70 --  divisvel por 7. 
 42 --  divisvel por 7. 

  Todas as parcelas so divisveis por 7. 
  Como todas as parcelas so divisveis por 7, 1.092  divisvel por 7. 
<P>
  Agora  a sua vez!
<R+> 
 a) 926  divisvel por 7? 
 b) 2.970  divisvel por 11? 
 c) 313  divisvel por 13? 
 d) 855  divisvel por 19?

 11"200=2.200 
 2.200  divisvel por 11.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<123>
 4 -- Nmeros primos

  Observe estes nmeros:

<R+>
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47 
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Quais so os divisores? D a resposta completando um quadro como o a seguir em seu caderno." 
<P>
<F->
 !:::::::::::::::::::::
 l Nmero _ Divisores _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l   2    _   1, 2   _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l   3    _   1, 3   _
 r:::::::::w::::::::::::w
 l   ...   _    ...     _
 h:::::::::j::::::::::::j
<F+>

<R+>
 wr
  Quantos divisores tem cada um desses nmeros? 
<R->
 
  Cada um dos nmeros anteriores tem apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Nmeros como esses so nmeros primos. 
  Note que: 
<R+>
  6 tem quatro divisores: 1, 2, 3 e 6. O nmero 6 no  um nmero primo. 
  20 tem cinco divisores: 1, 2, 4, 5 e 10. O nmero 20 no  um nmero primo. 
  43 tem apenas dois divisores: 1 e 43. 43  um nmero primo. 
<P>
  1 tem apenas um divisor: 1. O nmero 1 no  um nmero primo. 
  0 tem infinitos divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., ou seja, qualquer nmero natural, diferente de zero,  divisor de zero. Zero no  um nmero primo. 

 Chamamos de nmero primo qualquer nmero natural que tenha apenas dois divisores diferentes: 1 e ele prprio.
<R->

  Os nmeros que tm mais de dois divisores so chamados de nmeros compostos. 

 Usando a calculadora 

 Como reconhecer um nmero primo?

  Acompanhe um exemplo: 113  um nmero primo? 
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "Vale usar a calculadora! E as regras de divisibilidade tambm." 

  Se 113 no for um nmero primo, ele ser divisvel por algum nmero primo. Assim, comeamos dividindo 113 pelos nmeros primos menores que 113: 2, 3, 5, 7, 11, ... 
<124> 
  Paramos de dividir quando: 

<R+>
 1) A diviso for exata: nesse caso 113 no ser um nmero primo; 
 2) Encontrarmos um quociente menor que o divisor e a diviso no for exata: nesse caso 113 ser um nmero primo. Veja: 

 113 no  par. 
 113 no  divisvel por 2. 
 1+1+3=5 e 5 no  divisvel por 3.  
 113 no  divisvel por 3. 
 113 no termina nem em 5 nem em 0. 
 113 no  divisvel por 5. 
<R->
  Para dividir por 7, podemos usar uma calculadora e registrar a sequncia: 

 1 1 3  7 =

  O ponto em 16.142.857 significa que esse nmero no  natural: ele est entre 16 e 17. A diviso de 113 por 7 no  exata, e 113 no  divisvel por 7. 
  Agora observe o quociente e o divisor da diviso por 7: 

<R+>
 1137=16 resto 1
 16  maior que 7. Continuamos dividindo 113 por 11, que  o prximo nmero primo. 
<R->

  Dividindo 113 por 11: 

<R+>
 11311=10 resto 3
 10  menor que 11 (113 no  divisvel por 11.) e a diviso no  exata. 
 Logo, 113  um nmero primo. 
<R->

   Na diviso de 113 pelos nmeros primos, como encontramos uma diviso que no  exata, com quociente menor que o divisor, podemos afirmar que 113  um nmero primo. 
   Agora  com voc! 
<R+>
  Quais destes nmeros so primos?  
 a) 84 
 b) 117  
 c) 100 
 d) 157  
 e) 735  
 f) 211 
 g) 63 
 h) 101 
 i) 241
 j) 289
 k) 361
 l) 1.053 
<R->

<125>
<P> 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 43. Responda s questes sobre o nmero 53. 
 a) Ele  divisvel por 2?  
 b) Ele  divisvel por 3?  
 c) Ele  divisvel por 9?  
 d) Ele  divisvel por 11? 
 e) Quais so seus divisores?  
 f) 53  um nmero primo? 

 44. O nmero 1  primo? Por qu? 
 45. Decomponha os nmeros 9 e 50 como soma de dois nmeros primos. 
 46. Decomponha o nmero 30 como produto de nmeros primos.  
 47. Qual  o menor nmero primo com dois algarismos diferentes entre zero e 99? E o maior?  
 48. Determine trs nmeros compostos maiores que 100 e menores que 200.
<P>
 49. Determine trs nmeros compostos maiores que 100 e divisveis por 4.
 
 50. Quais destes nmeros so primos?  
 a) 137 
 b) 173 
 c) 176 
 d) 493 
<R->

 Troque ideias e resolva

  Vamos construir um Crivo de Eratstenes? 
  Uma das maneiras de encontrar os nmeros primos parece uma brincadeira. Ento vamos brincar? 
<R+>
  Construa em seu caderno uma tabela de 10 quadradinhos por 10 quadradinhos e escreva nela a sequncia dos nmeros naturais de 2 at 100. 
  Agora, risque os nmeros que so mltiplos de outros: 
 a) conte de dois em dois, a partir do 2, e risque os nmeros 
<P>
  divisveis por 2, maiores que 2; 
 b) conte de trs em trs, a partir do 3, e risque os nmeros divisveis por 3, maiores que 3; 
 c) proceda da mesma forma com 5, 7, 11, 13, 17..., que so nmeros primos. Quais nmeros primos menores que 100 voc encontrou? 
 
 Quando terminar, voc ter todos os nmeros primos menores que 100. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<126> 
 5 -- Decomposio em fatores 
  primos 

  Voc j conhece algumas decomposies de um nmero envolvendo a adio e a multiplicao. Existem outras decomposies usando apenas a escrita multiplicativa. Observe, no quadro a seguir, vrias decomposies desse tipo para o nmero 24: 

_`[{quadro adaptado_`]
 24 -- 4.6
 24 -- 4.2.3
 24 -- 2.2.6
 24 -- 2.2.2.3

  No produto 2'2'2'3, todos os fatores so nmeros primos. 

_`[{o professor diz_`]
  "2'2'2'3  a forma fatorada completa de 24 ou a fatorao completa de 24." 

  Vamos chamar de rvore de fatores o esquema que podemos usar para encontrar a fatorao completa de um nmero natural. 
  Observe como fazemos para 24: comeamos com escritas multiplicativas com dois ou mais fatores cujo produto seja 24. Repetimos o procedimento com os fatores que no so primos. Teremos a fatorao completa de 24 quando todos os fatores forem nmeros primos. 

_`[{esquema adaptado_`]
<F->
  24
 2.12
    3.4
       2.2
<F+>

 Nmeros primos: 2, 3, 2, 2 

 24=2.3.2.2
 ou
 24=2.2.2.3

  Podemos indicar a fatorao completa de um nmero usando potncias. 

 24=2.2.2.3
 24=23.3 -- Forma fatorada 
  completa.

<127>
<P>
<R+>
 Todo nmero natural composto tem uma nica decomposio em fatores primos, denominada forma fatorada completa ou fatorao completa.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 51. Entre as decomposies 3'4 e 2'2'3, qual delas  a forma fatorada completa do nmero 12? 
 
 52. Decomponha o nmero 80 em um produto de: 
 a) dois fatores; 
 b) trs fatores;  
 c) quatro fatores. 

 53. Construa uma rvore de fatores para 60 e encontre a sua fatorao completa.  
<P> 
_`[{figura adaptada_`]
 Legenda: 
 o -- representa uma bolinha vermelha

<F->
     60
    6.o
 o.o.o.o
<F+>

 54. Vamos construir uma rvore de fatores? Copie os esquemas j iniciados e complete-os corretamente:

_`[{esquemas adaptados_`]
 Legenda: 
 o -- representa uma bolinha vermelha 
 
 a) 150
  o.50 
 b) 450 
  9.o
 c) 625
  o.5
<P>
 d) Indique a fatorao completa dos nmeros: 150, 450 e 625.  

 55. Qual  a fatorao completa de cada nmero? 
 a) 72 
 b) 120 
 c) 200 
<R->

 Outra forma de fatorar 
  completamente um nmero 

  Existe um dispositivo prtico para fatorar um nmero. Observe, no exemplo, como constru-lo para o nmero 630: 

<R+>
 1) Escrevemos 630 e, ao lado dele, traamos uma linha reta na vertical. Escolhemos um de seus divisores primos, por exemplo, 5, e o escrevemos do outro lado da linha que foi traada. Dividimos 630 por 5 e obtemos 126. Esse quociente  registrado abaixo de 630. 
<P>
 Na prtica

<F->
 630_ 5 
 126_ 3  
  42_ 7  
   6_ 3
   2_ 2
   1_
<F+>

 Quocientes: 630, 126, 42, 6, 2, 1
 Divisores primos de 630: 5, 3, 7, 3, 2

 2) Escolhemos um dos divisores primos de 126, por exemplo, 3, e fazemos o mesmo que foi feito para 630 e assim sucessivamente, at obter quociente igual a 1. O produto dos divisores primos de 630  a sua forma fatorada completa: 
<R->

 630=5'3'7'3'2 
 ou 
<P>
 630=2'3'3'5'7 
 ou 
 630=2'32'5'7 

<128>
 Fatores, mltiplos e divisores 
  de um nmero 

  Quando conhecemos a fatorao completa de um nmero natural,  possvel tirar concluses a respeito de sua divisibilidade, de seus divisores e tambm saber se ele  ou no mltiplo de outro nmero. 
  Observando 198 e os fatores primos que aparecem quando o fatoramos, podemos afirmar: 
<R+>
  198  mltiplo de 6, pois 2'3  6, que  fator de 198; 
  15 no  divisor de 198, pois 15  3'5, e 5 no  fator de 198. 

 198=2'3'3'11 
 ou 
 198=2'32'11
<P>
 1986=33 resto 0 
 198  divisvel por 6 
 ou 
 198  mltiplo de 6 

 19815=13 resto 3 
 198 no  divisvel por 15 
 ou 
 15 no  divisor de 198 

 wr
  Identifique dois outros divisores de 198.  
<R->

 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 56. Decomponha em fatores primos estes nmeros usando o dispositivo prtico e d a fatorao completa de cada um deles. 
 a) 48   
 b) 80  
 c) 100 
 d) 169  

 57. Apresente a fatorao completa de 144 usando o processo que quiser.  
 
 58. Mrio, Lcia e Helena moram na mesma rua. Multiplicando os nmeros de suas casas obtm-se 420. 
 a) Que nmeros poderiam ser os da casa de cada um?  
 b) Se o produto fosse 429, quais seriam esses nmeros?  
 c) Como so chamados os nmeros que voc encontrou no item *b*?  

 59. Quais nmeros apresentam formas fatoradas? 
 a) 2'3'7    
 b) 23'5    
 c) 2'3'5    
 d) 32'7 
 e) 33'5 
 f) 25'5

 60. Neste quadro, temos a fatorao completa do nmero 945. 
<P>
 945=3'3'3'5'7 
 ou 
 945=33'5'7 

 a) Identifique quatro divisores de 945. 
 b) Identifique quatro nmeros dos quais 945 seja mltiplo.  

 61. A fatorao completa de um nmero  2'32'5'7. Sem calcul-lo, responda: 
 a) 14  divisor desse nmero? Por qu? 
 b) Identifique quatro nmeros dos quais 2'32'5'7 seja mltiplo.  
<R->

<129>
 A decomposio de um nmero em 
  fatores primos e a raiz quadrada 

  Quando um nmero tem raiz quadrada exata,  possvel calcul-la utilizando a fatorao completa desse nmero. 

 225=...  

  Fatoramos completamente o radicando 225 e observamos seus fatores primos. 

<R+>
<F->
225_ 3
 75_ 3
 25_ 5
  5_ 5
  1_
<F+>

225=3.3.5.5
 ou
 225=(3.5).(3.5)
 225=15.15
 225=152
 225=15

Na prtica:

<F->
225_ 3
 75_ 3
 25_ 5
  5_ 5
  1_
<F+>

225=?32.52*=3.5
 225=15

Portanto, 225=15, pois 152=225 

 wr
 Compare os expoentes dos fatores primos de 225 com os de 15. O que ocorre com esses expoentes?  
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 62. Calcule a raiz quadrada destes nmeros: 
 a) 100=22'52  
 b) 324=22'34  
 c) 2.025=34'52 

 63. Calcule o valor de:
 a) 900  
 b) 729  
 c) 2.500  
 d) 2.704  
<R->
<P>
 Seo + (mais)

 Empilhando CDs

  Vtor tem mais de 120 CDs. 
  Quando ele forma pilhas com 3 ou 4 CDs sempre sobra um. 
  Mas quando ele forma pilhas com 7 CDs no sobra nenhum. 
  Qual  o nmero de CDs que 
  ele pode ter?  

<130>
 Divisores comuns e o mximo 
  divisor comum 

  Os nmeros 36 e 54 possuem divisores comuns. Observe: 

 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 
  18, 36
 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 
  54

 Divisores comuns: 1, 2, 3, 6, 
  9, 18
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "18  o maior divisor comum de 36 e 54."

  18  o maior divisor comum de 36 e 54 e  denominado mximo divisor comum desses nmeros. Indicamos por: m.d.c.(36, 54)=18. 
  Podemos tambm calcular o mximo divisor comum de dois ou mais nmeros utilizando a decomposio desses nmeros em fatores primos. Acompanhe o clculo do m.d.c. entre 36 e 54. 

 36=2.2.3.3
 54=2.3.3.3

 2.3.3=18 :> m.d.c.`(36, 
  54`)=18

_`[{o menino diz_`]
  "2, 3 e 3 so os fatores primos comuns."
<P>
 Ou de modo abreviado:

 36=22.32
 54=2.33
 2.32=18 :> m.d.c.`(36, 
  54`)=18

<R+>
 O m.d.c.(36, 54)  o produto dos fatores primos comuns a 36 e 54.
<R->

  Quando se tem a forma fatorada completa indicada com potncias, como no caso de 36 e 54, o m.d.c.(36, 54)  o produto dos fatores comuns a 36 e 54, considerados com o menor expoente. 

<R+>
 O mximo divisor comum de dois ou mais nmeros, na forma fatorada completa,  o produto dos fatores primos comuns desses nmeros. Os fatores primos comuns so considerados com o menor expoente. 
<R->
<P>
 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 64. Escreva: 
 a) o grupo de divisores de 30 indicando-o por D(30);  
 b) o grupo de divisores de 100 indicando-o por D(100); 
 c) o grupo de divisores comuns a 30 e 100. 
  Qual  o mximo divisor comum de 30 e 100? 

 65. Nestas fatoraes, *a* e *b* representam dois nmeros naturais. Calcule o m.d.c.`(a, b`) em cada caso: 
 a) a=23'3'5  b=23'32'7   
 b) a=2'32'52'11 b=2'52'11 

 66. Calcule: 
 a) m.d.c.(12, 18)  
 b) m.d.c.(24, 40)   
 c) m.d.c.(15, 30)  
 d) m.d.c.(24, 36, 60) 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<131> 
 6 -- Mltiplos comuns e o mnimo 
  mltiplo comum 

  Mauro desafiou um amigo com um problema.
  Mauro e Daniel treinam futebol no mesmo clube. Mauro joga regularmente, de 8 em 8 dias. E Daniel, de 12 em 12. Hoje eles se encontraram e at treinaram juntos. 

_`[{daniel diz_`]
  "Legal encontrar voc, Mauro."

_`[{mauro responde_`]
  "Daqui a quantos dias vamos treinar juntos outra vez, Daniel?" 
<P>
<R+>
 wr
  Daqui a quantos dias eles vo se encontrar novamente para um treino?  
<R->

  Se voc encontrou alguma soluo, confira com esta. 
  A partir de hoje, os treinos acontecero dentro de: 

<R+> 
 Mauro :> hoje; 8 dias; 16 dias; 24 dias; 32 dias; 40 dias; 48 dias, ... 72 dias ... 
 Daniel :> hoje; 12 dias; 24 dias; 36 dias; 48 dias; 60 dias; 72 dias ... 

 24, 48, 72, 96, ... -- so os mltiplos comuns de 8 e 12. 
<R->

  Portanto, eles se encontraro novamente daqui a 24 dias. 
  Os mltiplos comuns de dois ou mais nmeros podem ser calculados de vrias maneiras. Utilizar a 
<P>
 fatorao completa desses nmeros  uma delas. Observe: 

 8=2'2'2 -- 8=23 
 12=2'2'3 -- 12=22'3

<R+>
  24  mltiplo comum de 8 e de 12. 
 24=2'2'2'3 -- 24 tem todos os fatores de 8 e de 12.
  72  mltiplo comum de 8 e 12.  
 72=2'2'2'3'3 -- 72 tem todos os fatores de 8 e de 12. 
  0  mltiplo comum de 8 e 12. 
 0=0'2'2'2'3 -- 0 tem todos os fatores de 8 e de 12. 
  36 no  mltiplo comum de 8 e 12. 
 36=2'2'3'3 -- 36 no tem todos os fatores de 8. 
<R->

<132>
  Note que 24  o menor mltiplo comum de 8 e 12, diferente de zero. Portanto 24  o mnimo mltiplo comum de 8 e 12. Indicamos: m.m.c.(8, 12)=24. 
<R+>
 Chamamos de mnimo mltiplo comum `(m.m.c.`) de dois ou mais nmeros o menor dos mltiplos comuns a eles diferente de zero. 
 O mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros, escritos na forma fatorada completa,  o produto dos fatores comuns e no comuns desses nmeros. Os fatores comuns so considerados com o maior expoente. 
<R->

 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 67. Em um quadro, Clara escreveu uma sequncia de mltiplos de 12, de 0 a 150. Abaixo deles, Marcos fez o mesmo para mltiplos de 20.  
 a) Que nmeros compem esses quadros? 
 b) Em seguida, Clara pintou os mltiplos comuns de 12 e 20, 
<P>
  nas duas sequncias. Quais mltiplos ela pintou?  
 c) Determine um mltiplo comum de 12 e 20 que no foi citado at agora. 
 d) Qual  o m.m.c.(12, 20)?  

 68. Calcule: 
 a) m.m.c.(4, 18)  
 b) m.m.c.(6, 15)  
 c) m.m.c.(6, 12)  
<R->

 Decomposio simultnea em 
  fatores primos e o m.m.c. 

  No processo de decomposio simultnea em fatores primos, decompomos todos os nmeros ao mesmo tempo. Vamos calcular, por exemplo, o m.m.c.(15, 24, 60). 
  Colocamos 15, 24 e 60, um ao lado do outro, e traamos uma reta. Escolhemos um nmero primo que seja divisor de qualquer um deles e o colocamos do outro lado dessa reta. Observe: 
<P>
<R+>
  5  divisor primo de 15 e de 60. Ento dividimos 15 e 60 por 5. 
  24 no  divisvel por 5. Por isso, repetimos o 24 na linha seguinte. 

<F->
15, 24, 60 _ 5 :> divisores
 3, 24, 12 _ 2    primos
 3, 12, 6  _ 2
 3,  6, 3  _ 3
 1,  2, 1  _ 2
 1,  1, 1  _
quocientes

m.m.c.(15, 24, 60)=5.2.2.3.2
m.m.c.(15, 24, 60)=23.3.5
m.m.c.(15, 24, 60)=120
<F+>
<R->

<133> 
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 69. Calcule, pelo processo da decomposio simultnea em fato-
<P>
  res primos, o mnimo mltiplo comum destes nmeros: 
 a) 12 e 15 

<F->
  12, 15 _ 2
   6, 15 _ 2 (Este j comeamos...)
<F+>

 b) 30 e 48  
 c) 4, 5 e 12  

 70. Desta vez  voc quem escolhe a forma de calcular o mnimo mltiplo comum: 
 a) m.m.c.(10, 35)   
 b) m.m.c.(24, 16)  
 c) m.m.c.(9, 15)   
 d) m.m.c.(32, 80)   
 e) m.m.c.(4, 6, 10) 
 f) m.m.c.(8, 18, 36)  
 g) m.m.c.(21, 28, 42) 
 h) m.m.c.(20, 108, 135) 
<R->
<P>
 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 71. O nmero 60  mltiplo de 10, 12 e 15. Calcule o mnimo mltiplo comum entre: 
 a) 10 e 60.  
 b) 12 e 60.  
 c) 15 e 60.  
  O que ocorre com o m.m.c.`(a, b`) quando *b*  mltiplo de *a*? 

 72. O nmero 126  o mnimo mltiplo comum de 18 e 42. Identifique outros quatro mltiplos comuns desses nmeros.  
 73. Neste quadro, as letras *a* e *b* representam dois nmeros naturais que esto decompostos em um produto de fatores primos. 
<P>
<F->
!:::::::::::::::
l a=23'32 _
l b=2'3'5    _
h:::::::::::::::j
<F+>

 a) Sem calcular esses nmeros, identifique o m.m.c.`(a, b`) na forma fatorada completa.
 b) Qual  o valor do m.m.c.`(a, b`)?  

 74. As letras *p*, *q* e *x* representam trs nmeros naturais diferentes. A fatorao completa desses nmeros est no quadro. Qual  o valor do m.m.c.`(p, q, x`)?  

<F->
!:::::::::::::::
l p=32'52 _
l q=5'7       _
l x=3'5       _
h:::::::::::::::j
<F+>

 75. Dona Antnia possui um enfeite pisca-pisca, para rvores de Natal, que tem lmpadas amarelas, vermelhas e azuis. As lmpadas amarelas se acendem de 4 em 4 minutos; as vermelhas, de 3 em 3 minutos; e as azuis, de 6 em 6 minutos. Se s 20 horas e 15 minutos todas as lmpadas se acenderem, a que horas elas voltaro a se acender novamente ao mesmo tempo?  
<R->

 Seo + (mais)

 Grande prmio 

 Isso  que  unir o til ao 
  agradvel! 

  Anncio no jornal *A Trombeta*: "Grande concurso! Crie o selo mais econmico e ganhe um prmio."

_`[{o menino diz_`]
  "Hum... ele dever servir para correspondncias simples, registradas e expressas..."; ele vai ao correio e observa a tabela; contedo a seguir.

<R+>
 Tabela de preos: Correspondncia 
 Simples -- R$0,48
 Registrada -- R$0,60
 Expressa -- R$0,72

  Qual dever ser o valor do selo econmico? 
  Quantos selos econmicos seriam necessrios para enviar uma carta registrada? E para enviar uma carta expressa?  
<R->

<134>
 Leitura + (mais) 

 O crivo de Eratstenes 

  Eratstenes (267 a.C.-194 a.C.) foi um matemtico nascido na Grcia. Ele criou um mtodo para encontrar nmeros primos, hoje conhecido como crivo de 
 Eratstenes. 
  No quadro a seguir _`[no adaptado_`], esto registrados os nmeros de 2 a 50. 
  Ele contou de dois em dois, a partir do 2, e foi riscando os nmeros divisveis por 2, maiores que 2. Observe no quadro os riscos verdes. 
  Em seguida, contou de trs em trs, a partir do 3, e foi riscando os nmeros divisveis por 3, maiores que 3, pois esse nmero no havia sido riscado. 
  Observe no quadro os riscos vermelhos. Como o 4 foi riscado, por ser divisvel por 2, ele fez com o nmero 5 o mesmo que havia feito com o 2 e o 3: a partir de 5, ele riscou, de 5 em 5, nmeros maiores que 5. 
  Observe no quadro os riscos azuis. E assim continuou com o nmero 7 e os demais. 
  Os nmeros que no foram riscados nesse quadro so: 

<R+>
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47 
<R->
<P>
  Esses so os nmeros primos menores que 50. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno. 

<R+>
 1. Os anos bissextos so nmeros divisveis por 4. Mas, quando um ano termina em 00, ele deve ser, tambm, divisvel por 16. Responda: 
 a) 1996 foi um ano bissexto? 
 b) 1900 foi um ano bissexto?  
 c) O ano em curso  bissexto? 
 d) Por que existem anos bissextos? 

 2. Observe o nmero 21.700 e responda: 

 21.700=21.000+700 

 a) Ele  divisvel por 7? Por qu?  
 b) Ele  divisvel por 3? Por qu? 

<135>
 3. Copie estas sentenas, substituindo o y por um algarismo que as torne verdadeiras. D todas as possibilidades de resposta em cada item: 
 a) #a.bdy  divisvel por 2.  
 b) #a.bdy  divisvel por 5.  
 c) #a.bdy  mltiplo de 10.  

 4. O nmero 14.383  divisvel por 5? Caso no seja, qual o menor nmero natural que deve ser adicionado a ele para obter um nmero divisvel por 5?  

 5. Nesta atividade, s vale usar os algarismos 3, 5, 6 e 7. Com esses algarismos, sem repeti-los, podemos escrever este nmero: 7.563 
 a) Esse nmero  divisvel por 5? Por qu? 
 b) Esse nmero  divisvel por 3? Por qu? 
 c) Usando esses mesmos algarismos, d a escrita numrica de cinco outros nmeros. 
 d) Os nmeros que voc escreveu so divisveis por 3? Por qu?
 e) Algum dos nmeros que voc escreveu  divisvel por 9? Por qu?  

 6. Escreva: 
 a) Cinco nmeros maiores que 5.000 que sejam divisveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
 b) Os nmeros que voc encontrou so divisveis por 6?  

_`[{para as atividades 7 e 8, pea orientao ao professor_`]

 7. Observe os nmeros. 

 30; 123; 280;
 8.005; 505; 10.000;
 1.010, 795; 99.
<P> 
 Faa: 
 a) uma lista daqueles que so divisveis por 5; 
 b) uma lista daqueles que so divisveis por 10; 
 c) uma lista daqueles que so divisveis por 5 e por 10 ao mesmo tempo; 
 d) um desenho _`[no adaptado_`] como este, distribuindo nele corretamente esses nmeros: 

 8. Um cubo ser montado a partir do molde a seguir. Quais sero os pares de faces opostas? 

<F->
      !::::::
      l a _ b _
  !:::r:::w:::j
  l c l d _
  h:::r:::w
      l e _
      r:::w
      l f _ 
      h:::j
<F+>
<P>
 9. As 760 tortas produzidas em uma fbrica no perodo da manh foram colocados em caixas que continham 30 tortas cada uma. Quantas tortas sobraram fora das caixas? 

 10. Calcule o valor de: 
 a) 7+72  
 b) 92"3-846  
 c) (168+32)(7-2)2 
 
 11. O m.d.c. de dois nmeros naturais  36. Quais nmeros podem ser esses?

 12. (Saresp) Indique, dentre estas opes, aquela que apresenta todas as informaes corretas:  
 a) 12  mltiplo de 2, 3 e de 9. 
 b) 2, 3 e 7 so divisores de 7. 
 c) 2, 3 e 6 so divisores de 12. 
 d) 12  mltiplo de 24 e 39. 

 13. Vov Pedro deseja repartir uma quantia igualmente entre seus netos. A menor quantia que ele dever separar, se quiser dar R$12,00 ou R$20,00 a cada um, :  
 a) R$20,00 
 b) R$60,00 
 c) R$120,00 
 d) R$42,00 

 14. Um elevador transporta no mximo 600 quilogramas `(kg`) em cada viagem. Se cada caixa tem 48 kg, ento ele poder transportar de uma s vez:  
 a) 10 caixas. 
 b) 13 caixas. 
 c) 100 caixas. 
 d) 12 caixas. 

 15. O relgio de Marcos adianta 2 minutos por hora. Certo dia, ele acertou o relgio s 7 horas da manh. Nesse dia, o re-
<P>
  lgio estar adiantado meia hora: 
 a) s 20 horas. 
 b) s 22 horas. 
 c) s 23 horas. 
 d) somente no dia seguinte. 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Terceira Parte 

